として1998年に新版が出ています。ゲーデル入門書としてはスタンダードなようです。
この本を読むのは多分２回目です。一回目は最後まで読んだかどうかわかりません。いくつか「不完全性定理」の入門書を読みましたが、未だに全然理解できません。今回も、少しも進歩はありませんでした。「次は」という気持ちは失せたようです。この歳になって、もう頭が追いていくことはないでしょう。
で、気がついたのですが、この本はゲーデル入門書で、「不完全性定理」を「数学的に」は説明していません。「数学的に」理解しようと思う方は『数学ガール ゲーデルの不完全性定理』（結城浩著）をおすすめします。『数学ガール』も難しいですが、ちゃんと説明していると思います。
ゲーデルの原著は読んだことがありません。
数学と超数学
この本にも、がいりゃくのがいりゃくのがいりゃく・・・が載っていますが、それよりもゲーデルの定理の背景がよくわかります。タイトルのとおり、数学と超数学の関係がよく分かるのです。
この本を読むのには、基礎知識はいらないと思います。もちろん、「理解」することと「読む」ことは違いますが。わかろうとする努力だけは必要です。
現代数学（形式体系）の用語（無矛盾、完全性、写像など）がわかりやすく説明されています。『数学ガール』よりずっと短いので、この本を流し読みしてから『数学ガール』を読むのも手です。
創造的な理性の力
「不完全性定理」と聞くと、「数学とは不完全なものだ」とか「科学で証明できないことがあるんだ」とか「結局は誰にもわからないんだ、ということが証明されたんだ」とか思うかもしれません。
私もそう思いたい誘惑から逃れることができません（だからこういう本を読みます）。
著者は「"人間の理性に説明不可能な限界"があることを意味するものでもありません。さらにまた、人間の才知の完全な形式化が不可能なこと、そして証明の新しい原理が、発明あるいは発見されるのを永久に待ちつづけるという意味でもありません。与えられた公理系から形式的な演繹によって確立できない数学的命題が、それにもかかわらず、"非形式的な"超数学的推論によって確立されうるということは、すでに見てきたとおりです。超数学的議論によって確立された、これらの形式的に証明不可能な真理が、直感に訴える以上に確かな基礎をもたないと主張するのは、無責任というものです。（P.129）といいます。難しいですね。この文章を理解するのは「不完全性定理」を理解するくらい難しです。
さらに、「計算機に固有な制約は、生命や人間知性を物理的、化学的用語によって説明しようと望んではならないことを意味しません。ゲーデルの不完全性定理はこのような説明の可能性を、否定も肯定もしません。ゲーデルの定理は、人間の心の構造と能力は、か（FF）つて考えだされたどんな無生物の機械よりも、遥かに複雑、巧妙であることを示しています。」（P.129-130）
つまり、著者も論理や理性（「知性」というのは違いますが、その混同こそが核心です。原書では"human reason"となっていますから、「理性」でしょうね）と「感情（感覚）」を分離した上で、両方を留保します。どちらが「優勢（優位）」であるとは言いません。でも、分離した時点で、その対立は必然的なのです。その両者の融合、そしてどちらかに収斂させようという試みは、西洋思想（その一部としての哲学と科学）の闘いの歴史です。ある時期には感情が優先され、ある時期には論理が優先されました。
原書が出版されたのは1958年。翻訳が出版されたのが1968年。人類が月面に降り立ったのが1969年です。それから50年がすぎました。その留保（現在も続いている）がどのようなことを生み出したのか、また生み出さなかったのかはみなさんがご存知のとおりです。
生み出したものを数え上げるのは可能でしょう。生み出さなかったものを数え上げるのは難しいです。生み出さなかったものが生み出したものを否定するものでもありません。でも、「失ったもの」を数え上げるのは可能です。失ったものは生み出したものを相対化します。
〈補論〉ーー 天才
プラトン、アリストテレス、ニュートン、ヘーゲル、アインシュタイン・・・、たくさんの天才がいました。もっともっとたくさんの天才がいたでしょうが、認められなかった天才は、忘れ去られました。特に、当時の人びとに受け入れられなかった（嫌われた）人は、記録すら残されないのです。
彼らは「超人（スーパーマン）」でしょうか。アインシュタインは魚釣りも虫採りうまかったのでしょうか。知らないけど、彼だって苦手なものはあったと思います。天才＝頭がいい＝何でもできる、ではないと思うのです。たまたま、彼らの考えていたことが当時の流れに沿っていただけです。アインシュタインなら物理学や数学を利用して「魚捕り機」を作るかもしれませんが、それは魚釣りがうまいということではありません。
ゲーデルが「本当は」何をしたかったのかはわかりません。アインシュタインが最後に核兵器に反対したように、今流行りのPCR法でノーベル賞を獲ったマリスが「感染症の診断にPCRを使ってはいけない」と言ったように、ゲーデルが「不完全性定理」で何を考えていたのかはわからないのです。ただ、「集合の概念は・・・われわれの定義と構成とから独立に存在する・・・実存の対象と考えられる。私の見るところでは、このような対象を仮定することは、物理的物体を仮定するのとまったく同じ程度に、理にかなっているし、それらが実在すると信じる理由も同じ程度にある。」（「ラッセルの数理論理学について」）と言っているように、数式（論理）を客観的実在として、つまり対象として見るかぎり、誰かが同じことをやっただろうし、それは時代の風潮に合致しているのです。そこに設定された「論理と感情」、「主体と客体」とその留保は明らかに、論理や主体の優越性を含んでいたと思います。そこには客体を尊重するふりをした自己の優越性が必ずあります。「人間が神を創った」のか「神が人間を創った」のかはどうでもいいのですが、その神（自然）を尊重するふりをして人間の優越性を語ることを私は嫌います。
男が女から生まれてくるということに目をつぶって、女が男から作られたというのとおなじです。
「適者生存」というのは「弱肉強食」とはまったく違います。強いものが生き残るなら、「百獣の王・ライオン」が一人勝ちするのでしょうか。ゴキブリが地球で一番繁殖しているといってもいいし、とうもろこしが地球を支配しているとも言えます。人間がとうもろこしを育てている、のではなくて、とうもろこしが人間を使って繁殖しているといってもいい。自分の遺伝子を操作することまで、人間にやらせるのです。
形式的な数学論理の不完全性の証明は、「不在の証明」です。
「証拠の不在は不在の証拠ではない。」（『カール・セーガン 科学と悪霊を語る』）
それは、ゲーデルやこの本の著者の考えとは別に、証明されてしまいました。それは論理による論理の自己否定、理性の自己崩壊だと私は思います。それを「超数学」あるいは「感性」で補うことは不誠実だと思えます。不完全性の証明の次には、「なぜ不完全なのか」を問う必要があるのではないでしょうか。不完全性が持つ意味を考えること。証明されたんだからそれで終わり、というのは、それこそが「不完全」な気がします。
法律には超法律があります。「法を守らなければならない」という法はないのです。でも、それこそが問われなければならないのだと私は思います。
〈書抜〉
「ある都市について語るときには、私たちはその都市自体を文章のなかに持ちこむのではなく、その都市の名称を用います。同じように、ある語（あるいはその他の言語的記号）について語るときには、文章のなかに現れるのは語（あるいは記号）そのものではなく、その語（あるいは記号）の名称です。」（P.43）
ゲーデルと実在論「プラトンの"リアリズム"（実在論）は、数学はその"対象"を創造したり発見したりするのではなく、コロンブスがアメリカを発見したように、それらを発見するのだ、という見解をとっています。もしこれが正しければ、対象はある意味では、発見される以前にすでに"存在"するものでなければなりません。プラトンの説によれば、数学的研究の対象は、空間・時間的秩序のなかに見いだされるのではありません。それは、知的な人びとだけが近づける特殊な領域から抽きだされる永遠の形態あるいは原理なのです。」（P.146）
⟨impressions⟩
["What did Godel prove-from mathematics to metamathematics"] (https://www.amazon.co.jp/dp/4826900872/?tag=charmedias-22)
A new edition was released in 1998. It seems to be the standard as a Godel introductory book.
This is probably the second time I've read this book. I don't know if I read it to the end the first time. I've read some introductory books on the Incompleteness Theorem, but I still don't understand at all. Again, there was no progress. It seems that the feeling of "next" has been lost. At this age, my head won't be chasing anymore.
I noticed that this book is an introductory book to Godel and does not explain the "incompleteness theorem" "mathematically". For those who want to understand "mathematically", "[Math Girl His Godel's Incompleteness Theorem] (https://nomado.moo.jp/medias/2020/08/26/post-2155/)" (Hiroshi Yuki) Written) is recommended. "Math Girl" is also difficult, but I think it explains it properly.
I have never read Godel's original work.
Mathematics and Metamathematics
This book also contains Gödel's Theorem, but you can understand the background of Godel's theorem better than that. As the title suggests, you can understand the relationship between mathematics and metamathematics.
I don't think you need basic knowledge to read this book. Of course, "understanding" and "reading" are different. Only the effort to understand is necessary.
Modern mathematics (formal system) terms (consistency, completeness, mapping, etc.) are explained in an easy-to-understand manner. It's much shorter than "Math Girl", so it's a good idea to scan this book before reading "Math Girl".
The power of creative reason
When you hear the "incompleteness theorem," "math is incomplete," "sometimes science can't prove it," or "in the end, no one knows." Has been proved. "
I can't escape the temptation I want to do (so I read books like this).
The author does not mean that there is an "unexplainable limit to human reason", nor is it impossible to completely formalize human wisdom, and of proof. It also does not mean that new principles will be invented or discovered forever. Mathematical propositions that cannot be established by formal deduction from a given axiom system, nevertheless, are "informal" supermath. We have already seen that it can be established by rational reasoning. These formally unprovable truths established by super-mathematical arguments have no more solid basis than intuition. It is irresponsible to claim that (P.129). It is difficult. It is as difficult to understand this sentence as to understand the "incompleteness theorem".
Furthermore, "Computer-specific constraints do not mean that we should not want to explain life or human intelligence in physical or chemical terms. Godel's incompleteness theorem is such an explanation. Godel's theorem states that the structure and abilities of the human mind are far more complex and subtle than any inanimate machine conceived (FF). Is shown. ”(P.129-130)
In other words, the author also has logic and reason ("intelligence" is different, but the confusion is the core. In the original, it is "human reason", so it must be "reason"). After separating and "emotion (sense)", both are reserved. I do not say which is "dominant". But at the time of separation, the conflict is inevitable. The fusion of the two, and the attempt to converge on one or the other, is the history of the struggle of Western thought (philosophy and science as part of it). At one point, emotions were prioritized, and at another point, logic was prioritized.
The original book was published in 1958. The translation was published in 1968. It was in 1969 that humankind landed on the moon. Fifty years have passed since then. You all know what the reservation (which is still going on) created and did not.
It will be possible to count what you have produced. It's hard to count what you didn't produce. It does not deny what was produced by what was not produced. But it is possible to count the "lost things". What you lose relativizes what you create.
{Appendix} --- Genius
Plato, Aristotle, Newton, Hegel, Einstein ... there were many geniuses. There would have been many more geniuses, but the unrecognized geniuses were forgotten. In particular, those who were not accepted (disliked) by the people at that time are not even recorded.
Are they "supermen"? Was Einstein good at fishing and catching insects? I don't know him, but I think he wasn't good at it. I don't think he is a genius = smart = can do anything. It just so happened that what they were thinking was in line with the flow of the time. Einstein might use physics and mathematics to build a "fish catcher," but that doesn't mean he's good at fishing.
I don't know what Godel "really" wanted to do. Gödel's "imperfections," as Einstein's last opposition to nuclear weapons, as Maris, who won the Nobel Prize in the now-popular PCR method, said, "Don't use PCR to diagnose infectious diseases." I don't know what I was thinking in the theorem. However, "the concept of a set ... exists independently of our definition and composition ... is considered an existential object. From my point of view, assuming such an object is a physical object. Just as it makes sense to assume, and for the same reason to believe that they exist. "(" About Russell's Mathematical Physics "), mathematical formulas (logic). As long as we see) as an objective reality, that is, as an object, someone would have done the same thing, which is in line with the trends of the times. I think that the "logic and emotion", "subject and object" and their reservations set there clearly included the superiority of logic and subject. There is always self-superiority that pretends to respect the object. It doesn't matter if "humans created God" or "God created humans", but I hate talking about human superiority by pretending to respect that god (nature). ..
It is the same as saying that a woman was made from a man, closing her eyes on the fact that a man was born from a woman.
"Survival of the fittest" is completely different from "weak meat and strong diet". If the strong one survives, will the "Lion, the King of Beasts" win alone? It can be said that cockroaches are the most breeding on the earth, and that corn dominates the earth. It can be said that humans do not grow corn, but that corn breeds using humans. Let humans do even the manipulation of their genes.
The proof of the incompleteness of formal mathematical logic is the "proof of absence".
"The absence of evidence is not evidence of absence." ("[Carl Sagan talks about science and evil spirits] (https://nomado.moo.jp/medias/2021/08/04/post-3307/)" )
It has been proved apart from the ideas of Godel and the author of this book. I think it is the self-denial of logic by logic and the self-destruction of reason. It seems dishonest to supplement it with "metathematics" or "sensitivity". Next to the proof of imperfections, it may be necessary to ask "why imperfections". Think about the implications of imperfections. It's been proven, so that's it, and that's what I feel is "incomplete."
There are extrajudicial laws. There is no law that says "you have to keep the law." But I think that's what must be asked.
<< Writing >>
"When we talk about a city, we use the name of the city rather than bringing it into the text. Similarly, a word (or other linguistic symbol). When talking about, it is not the word (or symbol) itself that appears in the sentence, but the name of the word (or symbol). ”(P.43)
Gödel and Realism "Platon's" realism "(realism) does not create or discover its" objects ", but just as Columbus discovered America. We take the view that we discover. If this is correct, the object must, in a sense, already "exist" before it is discovered. According to Platon's theory, it is mathematical. The subject of research is not found in spatial and temporal order, it is an eternal form or principle drawn from a special realm that only intelligent people can approach. "(P.146)
不完全性定理が驚異的によくわかる!!知の世界を震撼させたゲーデルの証明。あらゆる領域にいよいよ深く浸透しつつあるその意義と内容を基本からていねいに解説。
「数学とは何か」「証明とは何か」をめぐって、数学観に革命的な変革を迫ったゲーデルの破天荒の業績を、「不完全性定理」を中心に分かりやすく解説する。1968年刊「数学から超数学へ」の改訂新版。
「数学とは何か」「証明とは何か」をめぐって、数学観に革命的な変革を迫ったゲーデルの破天荒の業績を、「不完全性定理」を中心に分かりやすく解説する。1968年刊「数学から超数学へ」の改訂新版。
